📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Tính đơn điệu của hàm số mô tả chiều biến thiên của hàm số trên một khoảng hoặc đoạn. Hàm số có thể đồng biến (tăng) hoặc nghịch biến (giảm).
📐 Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K:
- • Đồng biến: ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
- • Nghịch biến: ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
Ký hiệu: Đồng biến (↗), Nghịch biến (↘)
Đồng biến (tăng)
x tăng thì y tăng
f'(x) > 0
Nghịch biến (giảm)
x tăng thì y giảm
f'(x) < 0
Hằng số
y không đổi khi x thay đổi
f'(x) = 0
Đồ thị minh họa tính đơn điệu của hàm số
2. ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Điều kiện đủ để đồng biến
Nếu f'(x) > 0 ∀x ∈ K:
Hàm số đồng biến trên K
Điều kiện đủ để nghịch biến
Nếu f'(x) < 0 ∀x ∈ K:
Hàm số nghịch biến trên K
Điều kiện cần
Nếu hàm số đồng biến:
f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ K
Đẳng thức tại hữu hạn điểm
Điều kiện cần
Nếu hàm số nghịch biến:
f'(x) ≤ 0 ∀x ∈ K
Đẳng thức tại hữu hạn điểm
📝 Quy tắc xét tính đơn điệu:
- Bước 1: Tìm tập xác định D
- Bước 2: Tính đạo hàm f'(x)
- Bước 3: Tìm các điểm f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định
- Bước 4: Lập bảng biến thiên
- Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Hàm số bậc nhất y = ax + b
- • a > 0: Đồng biến trên ℝ
- • a < 0: Nghịch biến trên ℝ
- • a = 0: Hàm hằng
Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c
- • a > 0: Nghịch biến trên (-∞; -b/2a), Đồng biến trên (-b/2a; +∞)
- • a < 0: Đồng biến trên (-∞; -b/2a), Nghịch biến trên (-b/2a; +∞)
Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d
- • Tính f'(x) = 3ax² + 2bx + c
- • Xét dấu tam thức bậc hai f'(x)
- • Δ' = b² - 3ac quyết định số nghiệm
Hàm phân thức y = (ax+b)/(cx+d)
- • y' = (ad - bc)/(cx + d)²
- • ad - bc > 0: Đồng biến trên từng khoảng
- • ad - bc < 0: Nghịch biến trên từng khoảng
📌 Hàm số chứa căn y = √f(x):
- • Điều kiện: f(x) ≥ 0 và f'(x) ≥ 0 (hoặc ≤ 0)
- • Đồng biến khi f(x) ≥ 0 và f'(x) > 0
- • Nghịch biến khi f(x) ≥ 0 và f'(x) < 0
4. BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ
Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d
Đồng biến trên ℝ khi:
a > 0 và Δ' ≤ 0
Nghịch biến trên ℝ khi:
a < 0 và Δ' ≤ 0
Hàm phân thức y = (ax+b)/(cx+d)
Đồng biến trên từng khoảng khi:
ad - bc > 0
Nghịch biến trên từng khoảng khi:
ad - bc < 0
📝 Phương pháp giải bài toán tham số:
- Bước 1: Tính đạo hàm y'
- Bước 2: Lập điều kiện y' ≥ 0 (hoặc ≤ 0) trên khoảng K
- Bước 3: Sử dụng dấu tam thức bậc hai hoặc bất đẳng thức
- Bước 4: Giải bất phương trình chứa tham số
- Bước 5: Kết luận giá trị tham số thỏa mãn
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu cơ bản
Xét tính đơn điệu của hàm số y = x³ - 3x + 2.
Lời giải:
y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1)
y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1
y' > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞) → Đồng biến
y' < 0 ⇔ x ∈ (-1; 1) → Nghịch biến
Ví dụ 2: Tìm tham số m
Tìm m để hàm số y = x³ - 3mx² + 3x + 1 đồng biến trên ℝ.
Lời giải:
y' = 3x² - 6mx + 3 = 3(x² - 2mx + 1)
Để đồng biến trên ℝ: y' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
Δ' = m² - 1 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ m ≤ 1
Ví dụ 3: Hàm phân thức
Tìm m để hàm số y = (2x + m)/(x - 1) đồng biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải:
y' = (2(x-1) - (2x+m)(1))/(x-1)² = (-2 - m)/(x-1)²
Để đồng biến: -2 - m > 0 ⇔ m < -2
6. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính đạo hàm tại điểm x₀:
- Nhập SHIFT + ∫dx (nút đạo hàm)
- Nhập hàm số, thêm , rồi nhập giá trị x
- Bấm =
Xét dấu đạo hàm tại điểm:
- Nhập biểu thức đạo hàm
- Nhấn CALC rồi nhập giá trị x
- Nếu kết quả > 0: đồng biến, < 0: nghịch biến
Giải phương trình đạo hàm = 0:
- Vào MODE 5 (EQN)
- Chọn bậc phương trình, nhập hệ số
- Bấm = để nhận nghiệm
Lưu ý: Kiểm tra lại bằng cách thay các giá trị vào khoảng đang xét