📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp K.
📐 Định nghĩa:
- • Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên K nếu:
f(x) ≤ M, ∀x ∈ K và ∃x₀ ∈ K sao cho f(x₀) = M Ký hiệu: M = maxK f(x) - • Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) trên K nếu:
f(x) ≥ m, ∀x ∈ K và ∃x₁ ∈ K sao cho f(x₁) = m Ký hiệu: m = minK f(x)
GTLN tuyệt đối
Giá trị lớn nhất trên toàn bộ tập xác định hoặc đoạn xét
Đỉnh cao nhất của đồ thị
GTNN tuyệt đối
Giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định hoặc đoạn xét
Đáy thấp nhất của đồ thị
Cực trị địa phương
Chỉ là lớn/nhỏ nhất trong lân cận, chưa chắc là lớn/nhỏ nhất trên K
f'(x₀) = 0
Minh họa GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [a; b]
2. QUY TẮC TÌM GTLN, GTNN
Trên đoạn [a; b]
- Tính f'(x), giải f'(x) = 0 tìm nghiệm xᵢ ∈ [a; b]
- Tính f(a), f(b), f(xᵢ)
- So sánh các giá trị trên
- Giá trị lớn nhất là max, nhỏ nhất là min
Trên khoảng K
- Tập xác định D, tính f'(x)
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào BBT kết luận GTLN, GTNN (nếu có)
📝 Lưu ý quan trọng:
- • Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] luôn có GTLN và GTNN trên đoạn đó.
- • Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) có thể không có GTLN, GTNN.
- • Nếu BBT cho thấy hàm số chỉ có 1 cực trị duy nhất (cực đại hoặc cực tiểu) trên khoảng K, thì đó chính là GTLN (hoặc GTNN) trên K.
- • Phân biệt GTLN/GTNN (trên tập K) và Cực đại/Cực tiểu (địa phương).
3. MỘT SỐ DẠNG HÀM THƯỜNG GẶP
Hàm bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d
- • Trên đoạn [α; β]: Tính y'(x)=0, so sánh 4 giá trị
- • Trên ℝ: Không có GTLN/GTNN nếu a≠0
Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax⁴ + bx² + c
- • Đặt t = x² ≥ 0, đưa về hàm bậc 2 theo t
- • Tìm GTLN/GTNN của hàm bậc 2 trên [0; +∞)
Hàm phân thức: y = (ax+b)/(cx+d)
- • Luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định
- • Trên đoạn không chứa tiệm cận: tính giá trị tại 2 đầu mút
Hàm chứa căn, lượng giác, mũ-log
- • Đặt ẩn phụ (nếu có) để đơn giản hóa
- • Chú ý điều kiện xác định của ẩn phụ
4. BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ m
Dạng 1: Tìm m để GTLN ≤ M₀ hoặc GTNN ≥ m₀
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (có chứa m).
2. Giải bất phương trình theo m từ điều kiện đề bài.
3. Kết luận khoảng giá trị của m.
Dạng 2: Tìm m để hàm số có GTLN/GTNN thỏa mãn hệ thức
Ví dụ: max + min = k hoặc max · min = k.
Thay biểu thức max, min theo m vào hệ thức, giải tìm m.
📝 Mẹo dùng máy tính Casio:
Đối với bài toán trắc nghiệm tìm m, có thể thay các giá trị m ở đáp án vào hàm số, dùng chức năng TABLE hoặc CALC để kiểm tra giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên đoạn.
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN trên đoạn
Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x³ - 3x + 2 trên đoạn [-2; 2].
Lời giải:
y' = 3x² - 3 = 0 ⇔ x = ±1 (thuộc [-2; 2])
y(-2) = -8 + 6 + 2 = 0
y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4
y(1) = 1 - 3 + 2 = 0
y(2) = 8 - 6 + 2 = 4
⇒ Max = 4, Min = 0
Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN trên khoảng
Tìm GTNN của hàm số y = x + 4/x trên (0; +∞).
Lời giải:
y' = 1 - 4/x² = 0 ⇔ x = 2 (nhận)
BBT: Hàm số giảm trên (0; 2), tăng trên (2; +∞)
⇒ GTNN tại x = 2, y(2) = 2 + 2 = 4
⇒ Min = 4
Ví dụ 3: Bài toán tham số
Tìm m để GTLN của hàm số y = -x² + 2x + m trên [0; 2] bằng 5.
Lời giải:
y' = -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∈ [0; 2]
y(0) = m, y(1) = m + 1, y(2) = m
⇒ Max = m + 1
Theo đề: m + 1 = 5 ⇔ m = 4
6. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Cách 1: Dùng chức năng TABLE (Mode 7)
- Vào MODE 7 (TABLE)
- Nhập hàm số f(x)
- Nhập Start = a, End = b, Step = (b-a)/20
- Quan sát cột Y, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất chính là GTLN/GTNN gần đúng
Cách 2: Dùng CALC kiểm tra nhanh
- Nhập biểu thức hàm số
- Bấm CALC, lần lượt thay các giá trị x = a, b, và các nghiệm của y'=0
- So sánh các kết quả để kết luận
Lưu ý: Với bài toán chứa tham số m, thay giá trị m cụ thể rồi dùng TABLE.