📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1. ĐỊNH NGHĨA CÁC LOẠI TIỆM CẬN
Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần vô cùng đến nó nhưng không cắt (hoặc có thể cắt ở một số điểm đặc biệt).
- • Tiệm cận đứng (TCĐ): x = x₀ nếu
lim(x→x₀⁺) f(x) = ±∞ hoặc lim(x→x₀⁻) f(x) = ±∞ - • Tiệm cận ngang (TCN): y = y₀ nếu
lim(x→+∞) f(x) = y₀ hoặc lim(x→-∞) f(x) = y₀ - • Tiệm cận xiên (TCX): y = kx + b (k≠0) nếu
lim(x→±∞) [f(x) - (kx+b)] = 0
Tiệm cận đứng
Thường là nghiệm của mẫu số (không triệt tiêu với tử số)
x = x₀
Tiệm cận ngang
Xuất hiện khi bậc tử ≤ bậc mẫu
y = lim(x→∞) f(x)
Tiệm cận xiên
Xuất hiện khi bậc tử = bậc mẫu + 1
y = kx + b
Minh họa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
2. QUY TẮC TÌM TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC
Tìm TCĐ
- Giải phương trình mẫu số = 0
- Loại nghiệm làm tử số = 0
- Các nghiệm còn lại chính là TCĐ
Tìm TCN, TCX
Xét bậc tử (m) và bậc mẫu (n):
- • m < n: TCN y = 0
- • m = n: TCN y = (hệ số đầu tử)/(hệ số đầu mẫu)
- • m = n + 1: Có TCX y = kx + b
- • m > n + 1: Không có TCN, TCX
📝 Cách tìm TCX (y = kx + b):
- B1: k = lim(x→±∞) [f(x)/x]
- B2: b = lim(x→±∞) [f(x) - kx]
- Hoặc: Chia đa thức tử cho mẫu, phần thương bậc nhất chính là TCX.
3. HÀM SỐ CHỨA CĂN & HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
Hàm chứa căn: y = √(ax²+bx+c)
Khi x → +∞: y/x → √a. Tiệm cận xiên có dạng y = √a·x + b/2√a
Hàm trị tuyệt đối
Xét riêng các khoảng x > 0 và x < 0 để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó tìm tiệm cận trên từng nhánh.
📌 Lưu ý quan trọng:
- • Đồ thị hàm phân thức bậc 3/bậc 2 luôn có 1 TCX.
- • TCĐ có thể bị "hổng" nếu tử và mẫu cùng triệt tiêu tại 1 điểm (giới hạn hữu hạn).
- • Số tiệm cận tối đa của đồ thị hàm số là 3 (1 TCĐ + 1 TCN + 1 TCX) hoặc (1 TCĐ + 2 TCN).
4. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Hàm phân thức cơ bản
Tìm tiệm cận của y = (2x-1)/(x+1).
TCĐ: x+1=0 ⇒ x=-1. Thử x=-1 vào tử: -3≠0. Vậy x=-1 là TCĐ.
TCN: lim(x→∞) y = 2. Vậy y=2 là TCN.
Ví dụ 2: Tiệm cận xiên
Tìm TCX của y = (x²-x+1)/(x-1).
Chia đa thức: y = x + 1/(x-1).
TCĐ: x = 1.
TCX: y = x (vì lim[1/(x-1)]=0).
Ví dụ 3: Bài toán tham số
Tìm m để đồ thị y = (mx-1)/(2x+m) có TCĐ là x=2.
TCĐ là nghiệm mẫu: 2x+m=0 ⇒ 4+m=0 ⇒ m=-4.
Kiểm tra tử tại x=2: -4(2)-1=-9≠0 (Thỏa mãn).
5. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO
Tìm TCN:
- Nhập hàm số f(x)
- Bấm CALC, nhập x = 10⁹ (hoặc -10⁹)
- Kết quả ≈ TCN (làm tròn)
Tìm TCĐ:
- Nhập mẫu số, dùng SOLVE hoặc giải phương trình = 0
- Nhập hàm số f(x), CALC gần nghiệm vừa tìm
- Nếu kết quả lớn dần (Error/Overflow) ⇒ là TCĐ
Lưu ý: Luôn kiểm tra lại bằng lý thuyết để đảm bảo chính xác.