📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
1. QUY TRÌNH KHẢO SÁT HÀM SỐ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là quy trình chuẩn để hiểu rõ hình dạng, tính chất và các đặc điểm quan trọng của đồ thị.
📐 Các bước khảo sát:
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ)
- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên
- Tính đạo hàm y', xét dấu y'
- Lập bảng biến thiên (chiều biến thiên, cực trị, giới hạn, tiệm cận)
- Bước 3: Vẽ đồ thị
- Giao điểm với trục Ox, Oy
- Điểm đặc biệt (điểm uốn, đối xứng)
- Nhận dạng dạng đồ thị cơ bản
Hàm bậc ba y = ax³+bx²+cx+d
Có thể có 2 cực trị hoặc không. Luôn nhận tâm đối xứng là điểm uốn.
Dạng chữ N hoặc ↘
Hàm bậc 4 trùng phương y = ax⁴+bx²+c
Đối xứng qua trục Oy. Có thể có 3 cực trị hoặc 1 cực trị.
Dạng chữ W hoặc ∪
Hàm phân thức y=(ax+b)/(cx+d)
Đồ thị hyperbol. Có 1 TCĐ, 1 TCN. Tâm đối xứng là giao 2 TC.
Dạng 2 nhánh
Đồ thị hàm số bậc ba có 2 cực trị và điểm uốn
2. NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ
Dấu hiệu nhận dạng nhanh
- • Hướng nhánh vô cực: Quyết định bởi dấu hệ số a bậc cao nhất
- • Giao Oy: Thay x=0 vào hàm số
- • Giao Ox: Giải phương trình y=0
- • Tâm đối xứng: Hàm lẻ (gốc O), Phân thức (giao tiệm cận), Bậc 3 (điểm uốn)
Biến đổi đồ thị cơ bản
- • y = |f(x)|: Giữ nguyên phần trên Ox, lấy đối xứng phần dưới lên
- • y = f(|x|): Giữ nguyên phần phải Oy, lấy đối xứng sang trái
- • y = f(x) + k: Tịnh tiến lên/k xuống |k| đơn vị
- • y = f(x-a): Tịnh tiến phải/trái |a| đơn vị
📝 Bài toán tương giao đồ thị:
Số giao điểm của (C): y=f(x) và (d): y=g(x) bằng số nghiệm của phương trình f(x)=g(x).
Phương pháp: Vẽ đồ thị, dùng đường thẳng ngang y=m cắt đồ thị, đếm số giao điểm để biện luận nghiệm.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Khảo sát hàm bậc 3
Khảo sát và vẽ đồ thị y = x³ - 3x + 2.
TXĐ: D = ℝ. y' = 3x² - 3 = 0 ⇔ x = ±1.
BBT: CĐ tại x=-1 (y=4), CT tại x=1 (y=0).
Giao Oy: (0;2). Giao Ox: (-2;0), (1;0) (kép).
Đồ thị nhận điểm uốn I(0;2) làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2: Nhận dạng đồ thị
Đồ thị hình chữ W mở lên trên, có 3 cực trị, cắt Oy tại điểm dương. Hàm số nào phù hợp?
Dạng W mở lên ⇒ a > 0 (bậc 4 trùng phương).
3 cực trị ⇒ b < 0.
Cắt Oy dương ⇒ c > 0.
Ví dụ: y = x⁴ - 2x² + 1.
Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm
Dùng đồ thị y=x³-3x+2, biện luận số nghiệm của x³-3x+1-m=0.
PT ⇔ x³-3x+2 = m+1. Số nghiệm = số giao của (C) và y=m+1.
Dựa vào BBT: m+1 < 0 hoặc > 4 ⇒ 1 nghiệm. m+1 = 0 hoặc 4 ⇒ 2 nghiệm. 0 < m+1 < 4 ⇒ 3 nghiệm.
4. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Vẽ đồ thị nhanh / Kiểm tra điểm:
- Vào MODE 3 (TABLE)
- Nhập f(x), đặt Start, End, Step phù hợp
- Quan sát bảng giá trị để phác thảo hình dạng, tìm cực trị gần đúng
Tìm giao điểm với đường thẳng y=m:
- Nhập f(x) - m, dùng SHIFT + SOLVE
- Thử các giá trị khởi tạo khác nhau để tìm đủ các nghiệm
- Đếm số nghiệm tìm được để suy ra số giao điểm
Lưu ý: TABLE không thay thế được BBT chính xác, chỉ dùng để kiểm tra nhanh trắc nghiệm.