📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: VECTƠ & PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN
1. KHÁI NIỆM & TOẠ ĐỘ VECTƠ
Trong không gian Oxyz, mỗi vectơ được xác định bởi 3 thành phần tọa độ tương ứng với 3 trục Ox, Oy, Oz.
📐 Công thức cơ bản:
- • Vectơ đơn vị: i⃗=(1;0;0), j⃗=(0;1;0), k⃗=(0;0;1)
- • a⃗ = (a₁; a₂; a₃) = a₁i⃗ + a₂j⃗ + a₃k⃗
- • Độ dài: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- • AB⃗ = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)
Biểu diễn vectơ trong hệ trục Oxyz
2. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Phép cộng, trừ, nhân vô hướng
- • a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃)
- • a⃗ - b⃗ = (a₁-b₁; a₂-b₂; a₃-b₃)
- • k·a⃗ = (k·a₁; k·a₂; k·a₃)
Tích vô hướng & Góc
- • a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- • cos(a⃗,b⃗) = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|)
- • a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0
📝 Điều kiện đặc biệt:
- • Cùng phương: a⃗ = k·b⃗ ⇔ a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃ = k (mẫu ≠ 0)
- • Trung điểm I của AB: I((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2; (z_A+z_B)/2)
- • Trọng tâm G tam giác ABC: G((x_A+x_B+x_C)/3; ...)
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính toán cơ bản
Cho a⃗=(1;2;-1), b⃗=(3;0;2). Tính a⃗+b⃗, |a⃗|, a⃗·b⃗.
a⃗+b⃗ = (4; 2; 1)
|a⃗| = √(1+4+1) = √6
a⃗·b⃗ = 1·3 + 2·0 + (-1)·2 = 1
Ví dụ 2: Điều kiện vuông góc
Tìm m để a⃗=(m;1;-2) vuông góc với b⃗=(2;3;1).
a⃗·b⃗ = 2m + 3 - 2 = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = -1/2
Ví dụ 3: Trọng tâm tam giác
Tam giác ABC có A(1;2;0), B(0;1;3), C(2;0;-1). Tìm G.
x_G = (1+0+2)/3 = 1; y_G = (2+1+0)/3 = 1; z_G = (0+3-1)/3 = 2/3
⇒ G(1; 1; 2/3)
4. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO
Chế độ VECTơ (Mode 5):
- Nhấn MODE → 5 (VECTOR)
- Chọn VctA, nhập 3 thành phần
- Chọn VctB, nhập 3 thành phần
- Thực hiện phép tính: OPTN → chọn phép toán (+, -, ·, ×)
Lưu ý: Tích vô hướng dùng phím · (dot), tích có hướng dùng ×.