📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
1. KHÁI NIỆM TOẠ ĐỘ VECTƠ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz, mỗi vectơ a⃗ được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp của ba vectơ đơn vị i⃗, j⃗, k⃗.
📐 Công thức cốt lõi:
- • Biểu diễn: a⃗ = (a₁; a₂; a₃) ⇔ a⃗ = a₁i⃗ + a₂j⃗ + a₃k⃗
- • Vectơ vị trí: Với M(x;y;z) thì OM⃗ = (x; y; z)
- • Vectơ qua 2 điểm: AB⃗ = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)
- • Độ dài: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Phép cộng/trừ
Cộng/trừ từng toạ độ tương ứng
a⃗±b⃗ = (a₁±b₁; a₂±b₂; a₃±b₃)
Nhân vô hướng
Nhân mỗi toạ độ với số k
k·a⃗ = (ka₁; ka₂; ka₃)
Tích vô hướng
Tổng tích các toạ độ tương ứng
a⃗·b⃗ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
Biểu diễn toạ độ vectơ trong hệ trục Oxyz
2. ĐIỀU KIỆN ĐẶC BIỆT & CÔNG THỨC QUAN TRỌNG
Cùng phương & Vuông góc
- • Cùng phương: a⃗ = k·b⃗ ⇔ a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃
- • Vuông góc: a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0
- • Góc (α): cosα = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|)
Điểm đặc biệt
- • Trung điểm I(AB): ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2; (z_A+z_B)/2)
- • Trọng tâm G(ABC): ((x_A+x_B+x_C)/3; ...)
- • Tâm O: O(0;0;0)
📝 Mẹo nhớ nhanh:
• Toạ độ vectơ = Toạ độ điểm cuối - Toạ độ điểm đầu.
• Vectơ 0⃗ có mọi toạ độ bằng 0.
• Vectơ đơn vị: i⃗(1;0;0), j⃗(0;1;0), k⃗(0;0;1).
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính toán cơ bản
Cho a⃗=(2;-1;3), b⃗=(1;4;0). Tính 2a⃗-3b⃗ và |2a⃗-3b⃗|.
2a⃗-3b⃗ = (4-3; -2-12; 6-0) = (1; -14; 6)
|2a⃗-3b⃗| = √(1 + 196 + 36) = √233
Ví dụ 2: Tìm tham số
Tìm m để u⃗=(1;m;2) cùng phương v⃗=(3;6;m).
1/3 = m/6 = 2/m
Từ m/6=2/m ⇒ m²=12 ⇒ m=±2√3
Thử lại: m=2√3 thỏa tỉ lệ. Vậy m=2√3.
Ví dụ 3: Góc giữa hai vectơ
Tính góc giữa a⃗=(1;1;0) và b⃗=(0;1;1).
a⃗·b⃗ = 1, |a⃗|=√2, |b⃗|=√2
cosα = 1/(√2·√2) = 1/2 ⇒ α = 60°
4. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO
Chế độ VECTOR (Mode 5):
- Nhấn MODE 5
- Chọn VctA, nhập 3 toạ độ
- Chọn VctB, nhập 3 toạ độ
- Tính toán: VctA + VctB, VctA · VctB (dấu chấm đen), |VctA| (Abs)
Lưu ý: Dùng OPTN để chọn phép toán. Kết quả trả về dưới dạng vectơ hoặc số thực.