📚 BÀI GIẢNG: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
1. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a⃗ = (a₁; a₂; a₃) và b⃗ = (b₁; b₂; b₃). Mọi phép toán đều được thực hiện trực tiếp trên các thành phần toạ độ.
- • Phép cộng/trừ: a⃗ ± b⃗ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; a₃ ± b₃)
- • Nhân với số k: k·a⃗ = (k·a₁; k·a₂; k·a₃)
- • Tích vô hướng: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- • Độ dài vectơ: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- • Góc (a⃗, b⃗): cos(a⃗, b⃗) = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|)
- • Điều kiện cùng phương: a⃗ = k·b⃗ ⇔ a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃ = k
- • Điều kiện vuông góc: a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0
Phép cộng vectơ
Cộng từng thành phần tương ứng. Mang tính chất giao hoán, kết hợp.
(a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃)
Tích vô hướng
Tổng các tích thành phần tương ứng. Cho ra một số thực.
a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Điều kiện đặc biệt
Vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. Cùng phương khi tỉ lệ.
a⃗·b⃗ = 0 hoặc a⃗ = k·b⃗
Quy tắc hình bình hành biểu diễn phép cộng vectơ
2. ỨNG DỤNG TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC
Toạ độ điểm đặc biệt
- • Trung điểm I(AB): ((x_A+x_B)/2; (y_A+y_B)/2; (z_A+z_B)/2)
- • Trọng tâm G(ΔABC): ((x_A+x_B+x_C)/3; ...)
- • Trọng tâm tứ diện G(ABCD): ((x_A+x_B+x_C+x_D)/4; ...)
Chứng minh & Tính toán
- • 3 điểm thẳng hàng: AB⃗ = k·AC⃗
- • Tam giác vuông tại A: AB⃗·AC⃗ = 0
- • Diện tích tam giác: S = 1/2 |AB⃗ × AC⃗|
- • Thể tích tứ diện: V = 1/6 |[AB⃗,AC⃗]·AD⃗|
📝 Mẹo giải nhanh trắc nghiệm:
• Khi tìm m để hai vectơ vuông góc: Chỉ cần lập phương trình a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0.
• Khi tìm độ dài đoạn thẳng: Áp dụng công thức khoảng cách giữa 2 điểm.
• Dùng máy tính CASIO Mode 5 (VECTOR) để kiểm tra nhanh tích vô hướng, độ dài, góc.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính toán trực tiếp
Cho a⃗=(1;2;-1), b⃗=(3;0;2). Tính 2a⃗-3b⃗ và a⃗·b⃗.
2a⃗-3b⃗ = (2-9; 4-0; -2-6) = (-7; 4; -8)
a⃗·b⃗ = 1·3 + 2·0 + (-1)·2 = 1
Ví dụ 2: Tìm tham số m
Tìm m để u⃗=(m;1;2) ⊥ v⃗=(2;-1;3).
u⃗·v⃗ = 2m - 1 + 6 = 0 ⇔ 2m + 5 = 0 ⇔ m = -5/2
Ví dụ 3: Góc giữa hai vectơ
Tính góc giữa a⃗=(1;1;0) và b⃗=(0;1;1).
a⃗·b⃗ = 1, |a⃗|=√2, |b⃗|=√2
cosθ = 1/2 ⇒ θ = 60°
4. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO
Chế độ VECTOR (Mode 5):
- Nhấn MODE 5
- Nhập VctA: 1, 2, -1
- Nhập VctB: 3, 0, 2
- Tính: VctA + VctB, VctA · VctB, |VctA|, cos(VctA, VctB)
Lưu ý: Tích vô hướng nhấn SHIFT 5 chọn 7 (Dot). Kiểm tra nhanh đáp án trắc nghiệm trong 10 giây.