📚 BÀI GIẢNG: PHƯƠNG SAI & ĐỘ LỆCH CHUẨN
1. KHÁI NIỆM & CÔNG THỨC CƠ BẢN
Phương sai và độ lệch chuẩn là các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu so với giá trị trung bình. Chúng cho biết dữ liệu có "tụ lại" sát nhau hay "lan rộng" ra xa.
- • Phương sai (s²): s² = (1/n) Σ(xᵢ - x̄)² = x̄² - (x̄)²
- • Độ lệch chuẩn (s): s = √s²
- • Số liệu ghép nhóm: s² = (1/n) Σfᵢ(cᵢ - x̄)² (với cᵢ là giá trị đại diện nhóm)
Phương sai
Trung bình bình phương độ lệch so với trung bình. Đơn vị là bình phương đơn vị gốc.
s² = Σ(xᵢ-x̄)² / n
Độ lệch chuẩn
Căn bậc hai của phương sai. Cùng đơn vị với dữ liệu gốc, dễ diễn giải hơn.
s = √(s²)
Số liệu ghép nhóm
Dùng giá trị đại diện cᵢ của mỗi nhóm, nhân với tần số fᵢ.
x̄ = Σfᵢcᵢ / n
2. TÍNH CHẤT & ỨNG DỤNG
Tính chất quan trọng
- • s² ≥ 0, s = 0 ⇔ mọi giá trị bằng nhau
- • Var(aX+b) = a²Var(X)
- • SD(aX+b) = |a|·SD(X)
- • s càng nhỏ ⇒ dữ liệu càng đồng đều
So sánh & Diễn giải
- • Dùng so sánh độ ổn định giữa các nhóm
- • s nhỏ hơn ⇒ chất lượng ổn định hơn
- • Kết hợp với IQR để phát hiện phân tán
📝 Mẹo tính nhanh:
• s² = (x₁²+x₂²+...)/n - (x̄)²
• Với số liệu dịch chuyển: Nếu yᵢ = xᵢ - c thì s²(y) = s²(x)
• Máy tính CASIO Mode 6 (STAT) tự động tính s² (σx²) và s (σx)
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính toán cơ bản
Mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Tính x̄, s², s.
x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 6
s² = [(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5 = 32/5 = 6.4
s = √6.4 ≈ 2.53
Ví dụ 2: Số liệu ghép nhóm
Nhóm [10;20): 5, [20;30): 10, [30;40): 5. Tính s².
cᵢ: 15, 25, 35. n=20. x̄ = (5·15+10·25+5·35)/20 = 25
s² = [5(15-25)²+10(25-25)²+5(35-25)²]/20 = 1000/20 = 50
s = √50 ≈ 7.07
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Chế độ Statistics (Mode 6):
- Nhấn MODE 6 → 1 (1-Var)
- Nhập dữ liệu vào cột X (bật FREQ nếu có tần số)
- Nhấn AC → SHIFT 1 (STAT)
- Chọn 4 (Var) → chọn σx² (phương sai mẫu) hoặc σx (độ lệch chuẩn)
Lưu ý: σx là độ lệch chuẩn của tổng thể (chia n), sx là độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh (chia n-1). Chương trình phổ thông thường dùng σx.