📚 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM
1. ĐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
- • Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C
- • Họ nguyên hàm: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C (C là hằng số).
- • Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x)
- • Tính chất 2: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx
- • Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Bảng nguyên hàm cơ bản
∫dx = x + C
∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C (α≠-1)
∫(1/x)dx = ln|x| + C
Hàm mũ & Lôgarit
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/lna + C
∫(1/x)dx = ln|x| + C
Lượng giác
∫cosx dx = sinx + C
∫sinx dx = -cosx + C
∫1/cos²x dx = tanx + C
2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Đổi biến số
Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục và y = f(u) liên tục thì:
∫f[u(x)]·u'(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + C
Tích phân từng phần
Nếu u, v có đạo hàm liên tục:
∫u dv = u·v - ∫v du
Thường dùng cho tích đa thức × hàm mũ/lôgarit/lượng giác.
📝 Mẹo nhớ nhanh:
- • Đổi biến: Nhận diện "hàm trong" và đạo hàm của nó ngoài.
- • Từng phần: Quy tắc "LIATE" chọn u: Lôgarit → Lượng giác → Đại số → Mũ.
- • Luôn nhớ thêm + C ở cuối kết quả nguyên hàm.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cơ bản
Tìm nguyên hàm của f(x) = 3x² + 2x - 1.
F(x) = ∫(3x²+2x-1)dx = x³ + x² - x + C
Ví dụ 2: Đổi biến
Tìm ∫(2x+1)⁵ dx.
Đặt u = 2x+1 ⇒ du = 2dx ⇒ dx = du/2
∫u⁵(du/2) = u⁶/12 + C = (2x+1)⁶/12 + C
Ví dụ 3: Từng phần
Tìm ∫x·e^x dx.
u=x ⇒ du=dx; dv=e^x dx ⇒ v=e^x
∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Kiểm tra nguyên hàm:
- Nhấn CALC
- Nhập biểu thức: Đạo hàm của kết quả - Hàm ban đầu
- Thay một giá trị x bất kỳ (ví dụ x=1). Nếu kết quả ≈ 0 thì đúng.
Lưu ý: Máy tính không tính trực tiếp nguyên hàm bất định. Dùng để kiểm tra đáp án trắc nghiệm hoặc kiểm chứng phép tính.