📚 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ SƠ CẤP
1. BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Việc tìm nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường dựa vào bảng đạo hàm đã biết và mở rộng thêm các kỹ thuật như đổi biến số.
- • Hàm lũy thừa: ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1) + C (α ≠ -1)
- • Hàm phân thức: ∫1/x dx = ln|x| + C
- • Hàm mũ: ∫a^x dx = a^x/lna + C; ∫e^x dx = e^x + C
- • Lượng giác:
- ∫cosx dx = sinx + C
- ∫sinx dx = -cosx + C
- ∫1/cos²x dx = tanx + C
- ∫1/sin²x dx = -cotx + C
Đổi biến số loại 1
Đặt u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
Dùng khi có f[u(x)]·u'(x)
Đổi biến số loại 2
Đặt x = x(t) ⇒ dx = x'(t)dt
Thường dùng cho căn thức
Tích phân từng phần
∫u dv = uv - ∫v du
Tích đa thức, mũ, log, lượng giác
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Hàm hợp cơ bản
- • ∫(ax+b)^α dx = (1/a)·(ax+b)^(α+1)/(α+1) + C
- • ∫e^(ax+b) dx = (1/a)e^(ax+b) + C
- • ∫sin(ax+b) dx = -(1/a)cos(ax+b) + C
- • ∫cos(ax+b) dx = (1/a)sin(ax+b) + C
Kỹ thuật biến đổi
- • Nhân liên hợp để khử căn.
- • Hạ bậc lượng giác: sin²x, cos²x.
- • Tách tử thành tổng để chia mẫu.
- • Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác.
📝 Quy tắc nhớ nhanh:
• Khi nguyên hàm hàm hợp f(ax+b), kết quả thường nhân thêm hệ số 1/a.
• Luôn kiểm tra lại bằng cách đạo hàm kết quả xem có ra hàm ban đầu không.
• Đừng quên hằng số tích phân C trong nguyên hàm bất định.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Hàm mũ
Tìm nguyên hàm của f(x) = e^(3x+1).
Đặt u = 3x+1 ⇒ du = 3dx ⇒ dx = du/3
F(x) = ∫e^u (du/3) = (1/3)e^u + C = (1/3)e^(3x+1) + C
Ví dụ 2: Lượng giác
Tìm nguyên hàm của f(x) = cos²x.
Sử dụng công thức hạ bậc: cos²x = (1+cos2x)/2
F(x) = ∫(1/2 + 1/2·cos2x)dx = x/2 + (1/4)sin2x + C
Ví dụ 3: Phân thức
Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/(2x-3).
Đặt u = 2x-3 ⇒ du = 2dx
F(x) = (1/2)∫(1/u)du = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln|2x-3| + C
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Kiểm tra nguyên hàm:
- Nhấn CALC
- Nhập: Đạo hàm của đáp án - Hàm số đề bài
- Thử x = 1, 2, 3... Nếu kết quả ≈ 0 thì đáp án đúng.
Lưu ý: Máy tính không tính trực tiếp nguyên hàm bất định. Phương pháp này dùng để loại trừ hoặc xác nhận đáp án trắc nghiệm.