📚 BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN
1. ĐỊNH NGHĨA & CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x).
- • Ký hiệu: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|ₐᵇ
- • Ý nghĩa hình học: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b.
- • Tính chất cơ bản:
- ∫ₐᵇ k·f(x)dx = k·∫ₐᵇ f(x)dx
- ∫ₐᵇ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ₐᵇ f(x)dx ± ∫ₐᵇ g(x)dx
- ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫ᶜᵇ f(x)dx
Đổi biến số
Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ'(t)dt. Đổi cận α, β tương ứng.
∫ₐᵇ f(x)dx = ∫_α^β f[φ(t)]φ'(t)dt
Tích phân từng phần
Nếu u, v có đạo hàm liên tục:
∫ₐᵇ u dv = (uv)|ₐᵇ - ∫ₐᵇ v du
Lưu ý quan trọng
- Hàm số phải liên tục trên đoạn lấy tích phân.
Luôn đổi cận khi đổi biến!
Diện tích hình thang cong minh họa tích phân xác định
2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Phương pháp đổi biến số
- Đặt ẩn phụ t = φ(x) hoặc x = ψ(t)
- Tính vi phân dx = ψ'(t)dt
- Đổi cận: x=a ⇒ t=α; x=b ⇒ t=β
- Thay vào công thức và tính tích phân theo t
Phương pháp từng phần
Dùng khi tích phân là tích của hai hàm số khác loại.
- • Đa thức × e^x/sinx/cosx: Đặt u = đa thức
- • Đa thức × lnx/arctanx: Đặt u = lnx/arctanx
- • e^x × sinx/cosx: Đặt u = e^x, tích phân 2 lần
📝 Mẹo giải nhanh trắc nghiệm:
• Tích phân của hàm lẻ trên đoạn đối xứng [-a; a] luôn bằng 0.
• Tích phân của hàm chẵn trên [-a; a] bằng 2 lần tích phân trên [0; a].
• Dùng máy tính CASIO: ∫(f(x), x, a, b) để tính nhanh giá trị.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cơ bản
Tính I = ∫₀¹ (3x² + 2x - 1) dx.
Nguyên hàm: F(x) = x³ + x² - x
I = F(1) - F(0) = (1+1-1) - 0 = 1
Ví dụ 2: Đổi biến số
Tính I = ∫₀¹ x√(x²+1) dx.
Đặt t = x²+1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = dt/2
Đổi cận: x=0→t=1; x=1→t=2
I = ∫₁² √t (dt/2) = (1/2)·(2/3)t^(3/2)|₁² = (1/3)(2√2 - 1)
Ví dụ 3: Tích phân từng phần
Tính I = ∫₀¹ x·e^x dx.
Đặt u=x ⇒ du=dx; dv=e^x dx ⇒ v=e^x
I = (x·e^x)|₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - (e^x)|₀¹ = e - (e - 1) = 1
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Tính tích phân xác định:
- Nhấn phím ∫dx (phím bên cạnh dấu = hoặc SHIFT + ∫)
- Nhập hàm số f(x), biến x, cận dưới, cận trên
- Nhấn = để nhận kết quả
Kiểm tra đáp án trắc nghiệm:
- Tính giá trị tích phân bằng máy tính
- Lần lượt thay các đáp án vào, so sánh kết quả
- Lưu ý: Làm tròn đúng số chữ số thập phân theo đề yêu cầu.