📚 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Tích phân xác định được sử dụng để tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
- • Hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), trục Ox, x=a, x=b:
S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx - • Hình phẳng giới hạn bởi y=f(x) và y=g(x):
S = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx
2. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Khối tròn xoay quanh trục Ox
Quay hình thang cong quanh Ox:
V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Giữa hai đồ thị f(x), g(x)
Quay phần giữa hai đồ thị quanh Ox:
V = π ∫ₐᵇ ([f(x)]² - [g(x)]²) dx
📝 Quy trình chung:
- Tìm giao điểm để xác định cận tích phân.
- Thiết lập công thức diện tích hoặc thể tích.
- Phá dấu giá trị tuyệt đối (nếu có) dựa vào dấu của hàm trên đoạn.
- Tính tích phân để ra kết quả.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Diện tích cơ bản
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x², trục Ox, x=0, x=2.
S = ∫₀² x² dx = (x³/3)|₀² = 8/3
Ví dụ 2: Diện tích giữa 2 đường
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x và y=x².
Giao điểm: x=x² ⇒ x=0, x=1.
S = ∫₀¹ |x - x²| dx = ∫₀¹ (x - x²) dx = (x²/2 - x³/3)|₀¹ = 1/6
Ví dụ 3: Thể tích tròn xoay
Quay y=√x quanh Ox trên [0; 4]. Tính V.
V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π(x²/2)|₀⁴ = 8π
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Tính diện tích bằng máy tính:
- Nhấn phím ∫dx
- Nhập hàm trị tuyệt đối: Shift → ABS → |f(x)|
- Nhập cận a, b và nhấn =
Lưu ý: Máy tính không thể tự động tìm giao điểm, bạn cần giải phương trình trước hoặc dùng tính năng SOLVE để tìm cận tích phân.