📚 BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT & ĐIỀU KIỆN
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến.
- • Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A²+B²+C² > 0)
- • Vectơ pháp tuyến: n⃗ = (A; B; C) vuông góc với mặt phẳng.
- • Qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀), VTPT n⃗=(A;B;C): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0
- • Phương trình đoạn chắn: x/a + y/b + z/c = 1
Vị trí tương đối
So sánh VTPT để biết song song, cắt nhau hoặc trùng nhau.
n₁ ≠ k·n₂ ⇔ Cắt nhau
Góc giữa 2 mặt phẳng
cos(P,Q) = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)
Vuông góc ⇔ n₁·n₂ = 0
Khoảng cách
d(M₀, P) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
Dùng tính khoảng cách điểm-mặt phẳng
Mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Viết phương trình mặt phẳng
- • Biết 1 điểm và VTPT.
- • Đi qua 3 điểm không thẳng hàng (tích có hướng của 2 vectơ tạo bởi 3 điểm là VTPT).
- • Song song với mặt phẳng khác và qua 1 điểm.
- • Chứa đường thẳng và qua điểm.
Vị trí tương đối & Góc
- • Cắt nhau nếu n₁ không cùng phương n₂.
- • Song song nếu n₁ ∥ n₂ và D khác tỉ lệ.
- • Trùng nhau nếu các hệ số tỉ lệ.
- • Góc α: cosα = |A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂| / (|n₁||n₂|)
📝 Mẹo nhớ nhanh:
• Hệ số A, B, C chính là toạ độ vectơ pháp tuyến.
• Nếu mặt phẳng song song với Ox thì A=0, với Oy thì B=0, với Oz thì C=0.
• Nếu mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) thì D=0.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Viết PTTQ
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và nhận n⃗=(2;-1;2) làm VTPT.
PT: 2(x-1) - 1(y-2) + 2(z-3) = 0
⇔ 2x - y + 2z - 6 = 0
Ví dụ 2: Mặt phẳng qua 3 điểm
Mặt phẳng qua A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
Dùng phương trình đoạn chắn: x/1 + y/2 + z/3 = 1
Nhân 6: 6x + 3y + 2z - 6 = 0
Ví dụ 3: Khoảng cách
Tính khoảng cách từ O(0;0;0) đến (P): 2x + 2y - z + 3 = 0.
d = |2(0)+2(0)-0+3| / √(4+4+1) = 3/3 = 1
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Tính tích có hướng (tìm VTPT):
- Nhấn MODE 5 (VECTOR)
- Nhập VctA và VctB
- Tính VctA × VctB bằng phím ×
- Kết quả là VTPT cần tìm.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Thay tọa độ điểm vào vế trái |Ax+By+Cz+D| rồi chia cho √(A²+B²+C²).