📚 BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. ĐỊNH NGHĨA & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
Trong không gian Oxyz, đường thẳng Δ được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ chỉ phương.
- • Đi qua M₀(x₀;y₀;z₀), VTCP u⃗=(a;b;c)≠0⃗:
- • Phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ)
- • Phương trình chính tắc (a,b,c ≠ 0): (x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c
Vectơ chỉ phương
u⃗ cùng phương với đường thẳng. Nếu u⃗ là VTCP thì k·u⃗ (k≠0) cũng là VTCP.
u⃗ = (a; b; c)
Vị trí tương đối
Xét hệ phương trình hoành độ giao điểm. Nếu hệ có 1 nghiệm → Cắt, vô số → Trùng, vô nghiệm → Song song hoặc chéo nhau.
Giải hệ tham số
Góc & Khoảng cách
Góc giữa 2 đường: cosφ = |u₁·u₂|/(|u₁||u₂|). Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng dùng tích có hướng.
d(M,Δ) = |[M₀M⃗, u⃗]|/|u⃗|
Đường thẳng đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u⃗
2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI & GÓC
Đường thẳng và mặt phẳng
- • Cắt: u⃗·n⃗ ≠ 0
- • Song song: u⃗·n⃗ = 0, điểm thuộc Δ không thuộc (P)
- • Nằm trong: u⃗·n⃗ = 0, điểm thuộc Δ thuộc (P)
- • Vuông góc: u⃗ // n⃗
Hai đường thẳng
- • Cắt nhau: Giải hệ có 1 nghiệm
- • Song song: u₁ = k·u₂, điểm không chung
- • Chéo nhau: [u₁,u₂]·M₁M₂⃗ ≠ 0
- • Vuông góc: u₁·u₂ = 0
📝 Mẹo giải nhanh:
• Khi viết phương trình đường thẳng, luôn kiểm tra u⃗ ≠ 0⃗.
• Nếu đề cho 2 điểm A, B → VTCP là AB⃗.
• Nếu đề cho Δ vuông góc với mp(P) → VTCP của Δ chính là VTPT của (P).
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-2;3) và song song với trục Ox.
VTCP u⃗ = (1;0;0) (VTCP trục Ox)
PTTS: x = 1 + t, y = -2, z = 3
Ví dụ 2: Vị trí tương đối
Xét vị trí tương đối của Δ₁: x/1 = (y-1)/2 = (z+1)/-1 và Δ₂: x=1+2t, y=-t, z=2-t.
u₁=(1;2;-1), u₂=(2;-1;-1) → Không cùng phương.
Giải hệ: 1+2t₁ = 1+2t₂; 1+2t₁? (Sửa: Δ₁ qua M₁(0;1;-1)). Giải hệ PTTS thu được nghiệm duy nhất → Cắt nhau.
Ví dụ 3: Khoảng cách
Tính khoảng cách từ M(1;2;3) đến đường thẳng d qua O(0;0;0), VTCP u⃗=(1;0;0).
OM⃗ = (1;2;3). [OM⃗, u⃗] = (0; 3; -2)
d = √(0+9+4)/1 = √13
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Tích có hướng & Giải hệ:
- Nhấn MODE 5 (VECTOR)
- Nhập VTCP và vectơ tạo bởi điểm & đường thẳng
- Dùng phím × để tính tích có hướng (dùng tìm khoảng cách hoặc đường vuông góc chung)
- Dùng chức năng SOLVE hoặc giải hệ 3 ẩn để tìm giao điểm.
Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0 khi chuyển từ PTTS sang PTCN.