📚 BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. ĐỊNH NGHĨA & CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ sao cho khoảng cách $IM = R$.
- • Phương trình chính tắc: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$
- • Phương trình tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$
- • Điều kiện tồn tại mặt cầu (dạng tổng quát): $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó $R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.
Vị trí tương đối điểm - mặt cầu
So sánh $d(I, M)$ với $R$. Nếu $d < R$: M trong; $d = R$: M trên cầu; $d > R$: M ngoài cầu.
$IM^2$ so với $R^2$
Vị trí tương đối mặt phẳng - mặt cầu
So sánh khoảng cách $d(I, (P))$ với $R$. Cắt, tiếp xúc hoặc không giao.
$d(I, (P))$ so với $R$
Vị trí tương đối đường thẳng - mặt cầu
So sánh khoảng cách $d(I, \Delta)$ với $R$. Tương tự như mặt phẳng.
$d(I, \Delta)$ so với $R$
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Viết phương trình mặt cầu
- • Biết tâm và bán kính: Thay vào công thức chính tắc.
- • Biết tâm và đi qua 1 điểm: Tính $R = IM$.
- • Biết đường kính AB: Tâm là trung điểm, $R = AB/2$.
- • Đi qua 4 điểm: Giải hệ phương trình hoặc dùng tính chất tâm cách đều 4 điểm.
Mặt cầu tiếp xúc, cắt
- • Tiếp xúc mặt phẳng (P): $d(I, (P)) = R$.
- • Tiếp xúc đường thẳng d: $d(I, d) = R$.
- • Cắt mặt phẳng: Giao tuyến là đường tròn bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
📝 Mẹo giải nhanh trắc nghiệm:
• Từ phương trình tổng quát, tâm là $(A/2; B/2; C/2)$ và kiểm tra điều kiện tồn tại $R^2 > 0$.
• Mặt cầu tiếp xúc Ox tại A có tâm dạng $(x_A; y; z)$ và bán kính bằng khoảng cách tâm đến Ox.
• Dùng máy tính CASIO giải hệ phương trình tìm tâm khi biết 4 điểm.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cơ bản
Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 4$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16$
Ví dụ 2: Từ phương trình tổng quát
Tìm tâm và bán kính mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$.
Tâm $I(1; -2; 3)$. $R = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2-5} = \sqrt{1+4+9-5} = 3$.
Ví dụ 3: Tiếp xúc
Mặt cầu tâm $I(0;0;0)$ tiếp xúc với mặt phẳng $2x - y + 2z - 9 = 0$. Tìm R.
$R = d(I, (P)) = \frac{|-9|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{9}{3} = 3$.
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Kiểm tra điểm thuộc mặt cầu:
- Nhập tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu.
- Nếu kết quả bằng 0 (hoặc vế trái bằng $R^2$) thì điểm thuộc mặt cầu.
Giải hệ tìm tâm:
- Dùng chức năng MODE 5 1 (Hệ 3 ẩn) để tìm tâm nếu biết điều kiện cách đều.
- Nhập các hệ số từ các phương trình khoảng cách.
Tính bán kính:
Dùng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trên máy tính để tìm R.