📚 BÀI GIẢNG: XÁC SUẤT TOÀN PHẦN & BAYES
1. HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ & CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN
Trong nhiều bài toán, biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong nhiều kịch bản (biến cố) B₁, B₂, ..., Bₙ loại trừ nhau.
- • Hệ đầy đủ (Partition): {B₁, B₂, ..., Bₙ} thỏa mãn:
- Bᵢ ∩ Bⱼ = ∅ (i ≠ j) → đôi một xung khắc
- ⋃Bᵢ = Ω → hợp bằng không gian mẫu
- • Công thức xác suất toàn phần: P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)
- • Ý nghĩa:** Xác suất của A bằng tổng xác suất A xảy ra trong từng kịch bản.
Sơ đồ cây minh họa công thức xác suất toàn phần
2. ĐỊNH LÝ BAYES & ỨNG DỤNG
- • Công thức Bayes: P(Bᵢ|A) = [P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)] / Σ [P(Bₖ)·P(A|Bₖ)]
- • Ý nghĩa:** "Cập nhật" xác suất của nguyên nhân Bᵢ sau khi quan sát kết quả A.
- • Bước giải:**
- B1: Xác định hệ đầy đủ {Bᵢ} và biến cố quan sát A.
- B2: Tính P(Bᵢ) và P(A|Bᵢ) (dùng sơ đồ cây).
- B3: Tính mẫu số P(A) bằng công thức toàn phần.
- B4: Thay vào công thức Bayes tìm P(Bᵢ|A).
📝 Mẹo nhận diện bài toán:
• Đề cho nhiều "nguồn", "máy", "nhóm" → nghĩ ngay đến hệ đầy đủ & xác suất toàn phần.
• Đề hỏi "biết đã xảy ra A, tính xác suất do Bᵢ gây ra" → dùng Bayes.
• Luôn vẽ sơ đồ cây trước khi tính để tránh nhầm lẫn nhánh.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Xác suất toàn phần
Kho hàng có 60% loại I (lỗi 2%), 40% loại II (lỗi 5%). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất chọn được hàng lỗi.
P(Lỗi) = P(I)P(L|I) + P(II)P(L|II) = 0.6×0.02 + 0.4×0.05 = 0.032
Ví dụ 2: Định lý Bayes
Biết sản phẩm chọn ra bị lỗi. Tính xác suất nó thuộc loại I.
P(I|L) = [P(I)P(L|I)] / P(L) = (0.012) / 0.032 = 3/8 = 0.375
4. HƯỚNG DẪN MÁY TÍNH CASIO
Tính nhanh Bayes:
- Nhập tử số: P(B₁)×P(A|B₁) → =
- Nhập mẫu số (tổng các nhánh): Σ[P(Bᵢ)×P(A|Bᵢ)] → =
- Chia tử cho mẫu → kết quả P(B₁|A)
Lưu ý: Kiểm tra tổng xác suất các nhánh Bᵢ phải bằng 1 trước khi tính. Dùng biến nhớ (Ans) để tránh nhập sai.