📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: BIỂU THỨC CHỨA CĂN
1. ĐỊNH NGHĨA BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Biểu thức chứa căn là biểu thức đại số có chứa dấu căn bậc hai hoặc căn bậc n. Trong chương trình THCS, chủ yếu học biểu thức chứa căn bậc hai.
📐 Điều kiện xác định:
Biểu thức √A xác định khi và chỉ khi:
A ≥ 0
Biểu thức trong căn phải không âm
Căn bậc hai
√A với A ≥ 0
Ví dụ: √(x+1)
Căn bậc ba
∛A với mọi A
Ví dụ: ∛(x-1)
Biểu thức phức tạp
Kết hợp nhiều căn
Ví dụ: √(x+1) + √(x-1)
📝 Ví dụ về điều kiện xác định:
- • √(x-3) xác định ⇔ x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
- • √(5-x) xác định ⇔ 5 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5
- • √(x²+1) xác định với mọi x (vì x²+1 > 0)
- • 1/√x xác định ⇔ x > 0
- • √(x-1)/(x-2) xác định ⇔ x ≥ 1 và x ≠ 2
2. TÍNH CHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Tính chất cơ bản
- • √(a·b) = √a · √b (a, b ≥ 0)
- • √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
- • √(a²) = |a|
- • (√a)² = a (a ≥ 0)
Hằng đẳng thức
- • √(A²) = |A|
- • √(A²·B) = |A|√B (B ≥ 0)
- • √(A/B) = √A/√B (A≥0, B>0)
- • (√A + √B)² = A + B + 2√(AB)
📐 Các phép biến đổi quan trọng:
- • Đưa thừa số ra ngoài: √(a²b) = |a|√b
- • Đưa thừa số vào trong: a√b = √(a²b) (a ≥ 0)
- • Trục căn ở mẫu: A/√B = A√B/B
- • Khử mẫu biểu thức lấy căn: √(A/B) = √(AB)/B
- • Liên hợp: (√A + √B)(√A - √B) = A - B
📝 So sánh các biểu thức căn:
- • √a < √b ⇔ a < b (a, b ≥ 0)
- • √a = √b ⇔ a = b (a, b ≥ 0)
- • √a > 0 ⇔ a > 0
- • √a = 0 ⇔ a = 0
- • √a + √b ≥ 0 (với a, b ≥ 0)
3. CÁC PHÉP TOÁN VỚI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Cộng trừ
Cùng loại mới cộng được
a√b + c√b = (a+c)√b
Nhân chia
√a · √b = √(ab)
√a / √b = √(a/b)
Trục căn
Loại bỏ căn ở mẫu
A/√B = A√B/B
📝 Các bước rút gọn biểu thức chứa căn:
- Tìm điều kiện xác định
- Đưa thừa số ra ngoài căn
- Quy đồng mẫu số (nếu có)
- Thực hiện phép tính
- Rút gọn kết quả
- Kiểm tra điều kiện
4. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
Dạng đơn giản
A/√B
Nhân tử và mẫu với √B
Kết quả: A√B/B
Dạng phức tạp
A/(√B ± √C)
Nhân với liên hợp
Kết quả: A(√B ∓ √C)/(B-C)
📌 Ví dụ minh họa:
Trục căn: 3/(√5 + √2)
Lời giải:
= 3(√5 - √2) / [(√5+√2)(√5-√2)]
= 3(√5 - √2) / (5 - 2)
= 3(√5 - √2) / 3
= √5 - √2
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định
Tìm điều kiện của √(x-3) + √(5-x)
Lời giải:
Điều kiện 1: x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
Điều kiện 2: 5 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
Kết hợp: 3 ≤ x ≤ 5
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
Rút gọn: A = √18 + √50 - √8
Lời giải:
A = 3√2 + 5√2 - 2√2
A = 6√2
Ví dụ 3: Trục căn thức
Trục căn: B = 5/(√3 - √2)
Lời giải:
B = 5(√3+√2) / [(√3-√2)(√3+√2)]
B = 5(√3+√2) / (3-2)
B = 5(√3 + √2)
6. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính căn bậc hai:
- Bấm √
- Nhập số cần tính
- Bấm =
Tính biểu thức chứa căn:
- Nhập biểu thức đầy đủ
- Sử dụng ngoặc khi cần
- Bấm =
Chuyển đổi dạng căn và số thập phân:
- Bấm SHIFT + = (S⇔D)
Lưu ý: Kiểm tra kết quả bằng cách bình phương lại