📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. ĐỊNH LÝ VI-ÉT
Hệ thức Vi-ét là mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình đó, được phát hiện bởi nhà toán học François Viète.
📐 Định lý Vi-ét thuận:
Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
S = x₁ + x₂ = -b/a
P = x₁ · x₂ = c/a
Tổng nghiệm (S)
S = x₁ + x₂ = -b/a
Bằng đối của hệ số b chia a
Tích nghiệm (P)
P = x₁ · x₂ = c/a
Bằng hệ số c chia a
2. ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
Nhẩm nghiệm nhanh
- • a + b + c = 0: x₁ = 1, x₂ = c/a
- • a - b + c = 0: x₁ = -1, x₂ = -c/a
- • Giúp giải nhanh không cần tính Δ
Tính biểu thức đối xứng
- • x₁² + x₂² = S² - 2P
- • x₁³ + x₂³ = S³ - 3SP
- • 1/x₁ + 1/x₂ = S/P
- • (x₁-x₂)² = S² - 4P
📝 Các biểu thức đối xứng thường gặp:
- • x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = S² - 2P
- • x₁³ + x₂³ = (x₁+x₂)³ - 3x₁x₂(x₁+x₂) = S³ - 3SP
- • 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) = S/P
- • (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂ = S² - 4P
- • x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁+x₂) = P·S
3. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH
📐 Định lý Vi-ét đảo:
Nếu hai số u và v có tổng S và tích P, và S² - 4P ≥ 0 thì u và v là nghiệm của phương trình:
X² - SX + P = 0
Điều kiện tồn tại
Để tồn tại hai số thực u, v:
Điều kiện: S² - 4P ≥ 0
Tương đương Δ ≥ 0 của phương trình
Cách giải
- Lập phương trình X² - SX + P = 0
- Giải phương trình bậc hai
- Hai nghiệm là hai số cần tìm
📝 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng bằng 5, tích bằng 6
Phương trình: X² - 5X + 6 = 0
Giải ra: X = 2 hoặc X = 3
Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng bằng 7, tích bằng 10
Phương trình: X² - 7X + 10 = 0
Giải ra: X = 2 hoặc X = 5
4. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT
a + b + c = 0
Một nghiệm bằng 1
x₁ = 1, x₂ = c/a
Ví dụ: 2x² - 5x + 3 = 0
a - b + c = 0
Một nghiệm bằng -1
x₁ = -1, x₂ = -c/a
Ví dụ: 3x² + 5x + 2 = 0
Nhẩm nghiệm
Khi nhẩm được tích và tổng
Giải nhanh không cần Δ
Tiết kiệm thời gian
📝 Ví dụ nhẩm nghiệm:
Ví dụ 1: 3x² - 5x + 2 = 0
a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0
Nhẩm: x₁ = 1, x₂ = 2/3
Ví dụ 2: 2x² + 5x + 3 = 0
a - b + c = 2 - 5 + 3 = 0
Nhẩm: x₁ = -1, x₂ = -3/2
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính biểu thức đối xứng
Cho x² - 5x + 6 = 0 có nghiệm x₁, x₂. Tính x₁² + x₂².
Lời giải:
S = 5, P = 6
x₁² + x₂² = S² - 2P = 25 - 12 = 13
Ví dụ 2: Tìm hai số
Tìm hai số biết tổng bằng 7, tích bằng 12.
Lời giải:
Phương trình: X² - 7X + 12 = 0
Giải ra: X = 3 hoặc X = 4
Vậy hai số là 3 và 4
Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm
Giải phương trình: 2x² - 5x + 3 = 0
Lời giải:
a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
Nhẩm được: x₁ = 1, x₂ = 3/2
6. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Giải phương trình bậc hai:
- Bấm MODE → 5 (EQN)
- Chọn 3 (anX²+bnX+c=0)
- Nhập hệ số a, b, c
- Bấm = để xem nghiệm
Tính S và P:
- Tính S = -b/a
- Tính P = c/a
- Dùng CALC để tính biểu thức
Lưu ý: Kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào phương trình