📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:
Tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC
📐 Hệ thức 1: b² = a·b' ; c² = a·c'
Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh đó trên cạnh huyền.
📐 Hệ thức 2: h² = b'·c'
Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
📐 Hệ thức 3: a·h = b·c
Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
📐 Hệ thức 4: 1/h² = 1/b² + 1/c²
Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
📐 Định lý Pytago: a² = b² + c²
Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Tam giác ABC vuông tại A, góc B = α
sin α = cạnh đối / cạnh huyền
sin B = AC/BC = b/a
cos α = cạnh kề / cạnh huyền
cos B = AB/BC = c/a
tan α = cạnh đối / cạnh kề
tan B = AC/AB = b/c
cot α = cạnh kề / cạnh đối
cot B = AB/AC = c/b
📝 Công thức liên hệ:
- • sin²α + cos²α = 1
- • tan α · cot α = 1
- • tan α = sin α / cos α
- • cot α = cos α / sin α
- • 1 + tan²α = 1/cos²α
- • 1 + cot²α = 1/sin²α
3. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
| Góc α | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
4. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
b = a · sin B = a · cos C
c = a · cos B = a · sin C
b = c · tan B = c · cot C
c = b · tan C = b · cot B
💡 Ghi nhớ: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề
• Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tính độ dài cạnh
Sử dụng Pytago hoặc hệ thức lượng để tính cạnh chưa biết.
Dạng 2: Tính đường cao
Dùng h² = b'·c' hoặc a·h = b·c để tính đường cao.
Dạng 3: Tính tỉ số lượng giác
Áp dụng định nghĩa sin, cos, tan, cot.
Dạng 4: Tính góc
Dùng bảng số hoặc máy tính để tìm góc từ tỉ số lượng giác.
Dạng 5: Chứng minh hệ thức
Biến đổi đại số dựa trên các hệ thức đã học.
Dạng 6: Bài toán thực tế
Áp dụng vào tính chiều cao, khoảng cách trong thực tế.
6. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính tỉ số lượng giác của góc:
- Bấm sin / cos / tan
- Nhập số đo góc
- Bấm =
Tính góc từ tỉ số lượng giác:
- Bấm SHIFT + sin / cos / tan
- Nhập giá trị tỉ số
- Bấm =
Lưu ý: Kiểm tra chế độ độ (D) bằng cách bấm SHIFT + MODE → chọn 3 (Deg)
7. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính đường cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính AH.
Lời giải:
BC = √(AB² + AC²) = √(36 + 64) = 10cm
Áp dụng: AB · AC = BC · AH
⇒ AH = (6 × 8) / 10 = 4.8cm
Ví dụ 2: Tính tỉ số lượng giác
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, BC = 5. Tính sin B, cos B, tan B.
Lời giải:
AC = √(BC² - AB²) = √(25 - 9) = 4
sin B = AC/BC = 4/5
cos B = AB/BC = 3/5
tan B = AC/AB = 4/3
Ví dụ 3: Tính cạnh
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, BC = 10cm. Tính AB và AC.
Lời giải:
AC = BC · sin 30° = 10 × 1/2 = 5cm
AB = BC · cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm