📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: ĐƯỜNG TRÒN
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Đường tròn tâm O, bán kính R là tập hợp các điểm cách O một khoảng bằng R. Ký hiệu: (O; R) hoặc (O)
Các yếu tố của đường tròn
📐 Các khái niệm quan trọng:
- • Bán kính (R): Đoạn thẳng nối tâm với một điểm trên đường tròn
- • Đường kính (d): Dây cung đi qua tâm, d = 2R
- • Dây cung: Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn
- • Cung: Phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm
- • Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn
- • Góc nội tiếp: Góc có đỉnh nằm trên đường tròn
2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Tính chất 1: Đối xứng
Đường tròn có tâm đối xứng là tâm O và có vô số trục đối xứng là các đường kính.
Tính chất 2: Dây cung
Dây cung lớn nhất là đường kính. Dây cung bằng nhau cách đều tâm.
Tính chất 3: Quan hệ vuông góc
Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Tính chất 4: Khoảng cách
Hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.
📝 Định lý quan trọng:
- • Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- • Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.
- • Trong hai dây cung của một đường tròn:
- Hai dây bằng nhau ⇔ cách đều tâm
- Dây nào lớn hơn ⇔ dây đó gần tâm hơn
3. GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Góc ở tâm
Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
α = sđ cung AB
Góc nội tiếp
Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
α = ½ sđ cung AB
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Số đo góc bằng nửa số đo cung bị chắn.
α = ½ sđ cung AB
📌 Hệ quả quan trọng:
- ✓ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- ✓ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (90°).
- ✓ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
- ✓ Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 180°.
4. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định nghĩa:
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó gọi là tiếp điểm.
Tính chất 1:
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
d ⊥ OA tại A
Tính chất 2:
Hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm cách đều hai tiếp điểm.
MA = MB
📝 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
- • Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn.
- • Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.
- • Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
5. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
📐 Tính chất:
- • Tổng hai góc đối bằng 180°: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
- • Góc ngoài bằng góc trong đối diện: Góc ngoài tại A = ∠C
- • Hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau: Nếu ∠ADB = ∠ACB thì ABCD nội tiếp
📌 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- ✓ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
- ✓ Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện.
- ✓ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (tâm đường tròn ngoại tiếp).
- ✓ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.
6. CÔNG THỨC TÍNH TOÁN
📏 Chu vi đường tròn:
C = 2πR = πd
R: bán kính, d: đường kính
📐 Diện tích hình tròn:
S = πR²
R: bán kính
📐 Độ dài cung tròn:
l = (πRn°)/180°
n°: số đo cung
📐 Diện tích quạt tròn:
S = (πR²n°)/360°
n°: số đo cung
💡 Lưu ý: π ≈ 3.14159... Trong tính toán thường lấy π ≈ 3.14 hoặc π ≈ 22/7
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh
Chứng minh tứ giác nội tiếp, điểm thuộc đường tròn, tiếp tuyến.
Dạng 2: Tính toán
Tính độ dài dây cung, khoảng cách từ tâm đến dây, bán kính.
Dạng 3: Góc
Tính số đo góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến.
Dạng 4: Chu vi - Diện tích
Tính chu vi, diện tích hình tròn, độ dài cung, diện tích quạt.
Dạng 5: Vị trí tương đối
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Dạng 6: Bài toán thực tế
Áp dụng vào tính toán trong thực tế (bánh xe, đồng hồ...).
8. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính độ dài dây cung
Cho đường tròn (O; 5cm), dây AB cách tâm 3cm. Tính độ dài AB.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB, OH = 3cm
ΔOHA vuông tại H: AH² = OA² - OH² = 25 - 9 = 16
AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm
Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Chứng minh tứ giác tạo bởi chân các đường cao nội tiếp.
Lời giải:
Gọi H là trực tâm, D, E, F là chân đường cao.
∠BEC = ∠BFC = 90° ⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính BC
⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp
Ví dụ 3: Tính diện tích
Tính diện tích hình tròn có chu vi 20π cm.
Lời giải:
C = 2πR = 20π ⇒ R = 10cm
S = πR² = π × 100 = 100π cm²
9. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính chu vi, diện tích hình tròn:
- Nhập bán kính R
- Chu vi: 2 × SHIFT + π × R
- Diện tích: SHIFT + π × R²
Tính độ dài cung, diện tích quạt:
- Độ dài cung: SHIFT + π × R × n ÷ 180
- Diện tích quạt: SHIFT + π × R² × n ÷ 360