📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1. ĐỊNH NGHĨA TIẾP TUYẾN
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
Đường thẳng d là tiếp tuyến tại A, OA ⊥ d
📐 Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến:
- • Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn
- • Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính
- • Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn
2. TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
Tính chất 1: Vuông góc
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
d ⊥ OA tại A
Tính chất 2: Hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì M cách đều hai tiếp điểm.
MA = MB
Tính chất 3: Tia phân giác
Tia MO là phân giác của góc AMB và góc AOB.
∠AMO = ∠BMO
Tính chất 4: Đối xứng
Hình qua M đối xứng qua OM.
ΔOMA = ΔOMB
📝 Định lý hai tiếp tuyến cắt nhau:
- • Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
Dấu hiệu 1
Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn.
Dấu hiệu 2
Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.
Dấu hiệu 3
Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
📌 Phương pháp chứng minh tiếp tuyến:
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
- Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính
- Chứng minh đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn
- Sử dụng tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
4. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Tiếp tuyến chung ngoài
Là tiếp tuyến chung mà hai đường tròn nằm cùng một phía đối với tiếp tuyến.
Số lượng: Tối đa 2
Tiếp tuyến chung trong
Là tiếp tuyến chung mà hai đường tròn nằm khác phía đối với tiếp tuyến.
Số lượng: Tối đa 2
📐 Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
| Vị trí tương đối | Số TTC ngoài | Số TTC trong | Tổng |
|---|---|---|---|
| Hai đường tròn ngoài nhau | 2 | 2 | 4 |
| Tiếp xúc ngoài | 2 | 1 | 3 |
| Cắt nhau | 2 | 0 | 2 |
| Tiếp xúc trong | 1 | 0 | 1 |
| Một đường tròn nằm trong | 0 | 0 | 0 |
5. GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
📐 Định lý:
Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.
α = ½ sđ cung AB
📌 Hệ quả quan trọng:
- • Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung
- • Đây là dấu hiệu quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp
- • Ứng dụng trong nhiều bài toán chứng minh và tính toán
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh tiếp tuyến
Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
Dạng 2: Tính độ dài
Tính độ dài tiếp tuyến, khoảng cách từ điểm đến tiếp điểm.
Dạng 3: Tính góc
Tính số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, bán kính.
Dạng 4: Hai tiếp tuyến cắt nhau
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để giải toán.
Dạng 5: Tiếp tuyến chung
Xác định và tính toán với tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Dạng 6: Bài toán thực tế
Áp dụng vào tính toán trong thực tế (bánh răng, đường ray...).
7. CÔNG THỨC TÍNH TOÁN
📏 Độ dài tiếp tuyến từ M:
MA = √(MO² - R²)
MO: khoảng cách từ M đến O
📐 Góc ở tâm AOB:
∠AOB = 180° - ∠AMB
Tứ giác MAOB nội tiếp
📐 Độ dài dây cung AB:
AB = 2·MA·sin(∠AMO)
Hoặc AB = 2R·sin(∠AOB/2)
📐 Khoảng cách OH:
OH = R·cos(∠AOB/2)
H là trung điểm AB
💡 Lưu ý: Trong mọi tính toán với tiếp tuyến, luôn nhớ tính chất vuông góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm.
8. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Chứng minh tiếp tuyến
Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ MA là tiếp tuyến (A là tiếp điểm). Chứng minh OA ⊥ MA.
Lời giải:
Theo định nghĩa tiếp tuyến, MA chỉ có một điểm chung A với đường tròn.
Theo tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Vậy OA ⊥ MA tại A.
Ví dụ 2: Tính độ dài tiếp tuyến
Cho đường tròn (O; 5cm), điểm M cách O 13cm. Kẻ tiếp tuyến MA. Tính MA.
Lời giải:
ΔOAM vuông tại A (MA là tiếp tuyến)
MA² = OM² - OA² = 169 - 25 = 144
MA = 12cm
Ví dụ 3: Tính góc
Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O). Biết ∠AMB = 60°. Tính ∠AOB.
Lời giải:
Tứ giác MAOB có: ∠MAO = ∠MBO = 90°
∠AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°
Hoặc: ∠AOB = 180° - ∠AMB = 180° - 60° = 120°
9. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính độ dài tiếp tuyến:
- Nhập √ ( MO x² - R x² )
- Bấm =
Tính góc từ tỉ số lượng giác:
- Bấm SHIFT + tan / sin / cos
- Nhập giá trị tỉ số
- Bấm =
Lưu ý: Kiểm tra chế độ độ (D) bằng cách bấm SHIFT + MODE → chọn 3 (Deg)