📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. ĐỊNH NGHĨA TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)
📐 Ký hiệu:
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) ⇔ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O
2. TÍNH CHẤT CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Tính chất 1: Tổng hai góc đối
Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
Tính chất 2: Góc ngoài
Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện.
∠DCE = ∠A
Tính chất 3: Cung chứa góc
Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
∠ADB = ∠ACB
Tính chất 4: Tâm đường tròn
Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều bốn đỉnh.
OA = OB = OC = OD = R
📝 Chứng minh tính chất tổng hai góc đối:
- Gọi sđ cung ABC = α, sđ cung ADC = β
- ∠D = ½α (góc nội tiếp chắn cung ABC)
- ∠B = ½β (góc nội tiếp chắn cung ADC)
- α + β = 360° (cung tròn)
- ⇒ ∠B + ∠D = ½(α + β) = 180°
3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Dấu hiệu 1
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
∠A + ∠C = 180°
Dấu hiệu 2
Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện.
∠DCE = ∠A
Dấu hiệu 3
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
OA = OB = OC = OD
Dấu hiệu 4
Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.
∠ADB = ∠ACB
Dấu hiệu 5
Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông.
∠A = ∠C = 90°
Dấu hiệu 6
Tứ giác tạo bởi chân các đường cao của tam giác.
Tứ giác trực tâm
📌 Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:
- Chứng minh tổng hai góc đối bằng 180°
- Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đối diện
- Chứng minh bốn đỉnh cách đều một điểm
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông
4. CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT NỘI TIẾP
Hình chữ nhật
Luôn nội tiếp được
Tâm = giao điểm 2 đường chéo
Hình vuông
Luôn nội tiếp được
Tâm = giao điểm 2 đường chéo
Hình thang cân
Luôn nội tiếp được
Trục đối xứng là đường trung trực
Tam giác vuông
Nội tiếp đường tròn
Cạnh huyền là đường kính
Hình bình hành
Nội tiếp khi là hình chữ nhật
∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠A = 90°
Hình thoi
Nội tiếp khi là hình vuông
Các cạnh bằng nhau + nội tiếp
💡 Lưu ý: Không phải mọi tứ giác đều nội tiếp được. Chỉ những tứ giác thỏa mãn một trong các dấu hiệu trên mới nội tiếp.
5. ĐỊNH LÝ VÀ HỆ QUẢ QUAN TRỌNG
📐 Định lý Ptolemy:
Trong tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo bằng tổng tích các cặp cạnh đối.
AC · BD = AB · CD + AD · BC
📐 Hệ quả về góc:
- • Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
- • Góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung
📐 Công thức tính bán kính:
Đối với tứ giác nội tiếp ABCD:
R = √((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)) / (4S)
Với a,b,c,d là độ dài 4 cạnh, S là diện tích
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh nội tiếp
Chứng minh tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn.
Dạng 2: Tính góc
Sử dụng tính chất tổng hai góc đối bằng 180°.
Dạng 3: Chứng minh bằng nhau
Sử dụng các góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Dạng 4: Hệ thức độ dài
Áp dụng định lý Ptolemy và các hệ thức lượng.
Dạng 5: Điểm cố định
Chứng minh đường tròn đi qua điểm cố định.
Dạng 6: Bài toán thực tế
Áp dụng vào thiết kế, xây dựng, kiến trúc.
7. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
Lời giải:
∠BEC = 90° (BE là đường cao)
∠BFC = 90° (CF là đường cao)
⇒ E và F cùng nhìn BC dưới góc 90°
⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
Ví dụ 2: Tính góc
Cho tứ giác ABCD nội tiếp, ∠A = 80°, ∠B = 70°. Tính ∠C và ∠D.
Lời giải:
∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 180° - 80° = 100°
∠B + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 180° - 70° = 110°
Ví dụ 3: Chứng minh các góc bằng nhau
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Chứng minh ∠ADB = ∠ACB.
Lời giải:
∠ADB và ∠ACB là hai góc nội tiếp
Cùng chắn cung AB
⇒ ∠ADB = ∠ACB (tính chất góc nội tiếp)
8. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính góc từ tổng hai góc đối:
- Nhập 180 - góc đã biết
- Bấm =
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:
- Với tam giác: R = abc/(4S)
- Nhập công thức vào máy tính
- Bấm =
Lưu ý: Kiểm tra chế độ độ (D) bằng cách bấm SHIFT + MODE → chọn 3 (Deg)