📚 BÀI GIẢNG CHI TIẾT: HÌNH CẦU
1. ĐỊNH NGHĨA HÌNH CẦU
Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm O cố định (gọi là tâm) một khoảng bằng R (gọi là bán kính) không đổi.
Hình cầu tâm O, bán kính R
📐 Các yếu tố của hình cầu:
- • Tâm (O): Điểm cố định cách đều mọi điểm trên mặt cầu
- • Bán kính (R): Khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên mặt cầu
- • Đường kính (d): Đoạn thẳng đi qua tâm, nối hai điểm đối diện trên mặt cầu, d = 2R
- • Mặt cầu: Bề mặt của hình cầu
- • Khối cầu: Phần không gian bao gồm mặt cầu và phần bên trong
2. CÔNG THỨC TÍNH TOÁN
📏 Diện tích mặt cầu:
S = 4πR²
R: bán kính
📐 Thể tích khối cầu:
V = ⁴⁄₃πR³
R: bán kính
📐 Chu vi đường tròn lớn:
C = 2πR
Đường tròn qua tâm
📐 Diện tích đường tròn lớn:
S_đtròn = πR²
Thiết diện qua tâm
📐 Công thức theo đường kính d:
Vì d = 2R ⇒ R = d/2
S = πd²
V = ⅙πd³
💡 Lưu ý: Diện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích đường tròn lớn. Thể tích khối cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp (có cùng R và h = 2R).
3. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH CẦU
Tính chất 1: Mặt cắt
Mọi mặt cắt của hình cầu đều là hình tròn.
Bán kính thiết diện ≤ R
Tính chất 2: Thiết diện qua tâm
Thiết diện qua tâm là đường tròn lớn có bán kính bằng R.
Diện tích = πR²
Tính chất 3: Đối xứng
Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng đi qua tâm.
Tâm đối xứng là O
Tính chất 4: Tiếp diện
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm duy nhất.
Vuông góc với bán kính
📝 Thiết diện của hình cầu:
- • Mặt cắt qua tâm: Đường tròn lớn bán kính R
- • Mặt cắt không qua tâm: Đường tròn nhỏ bán kính r < R
- • Nếu khoảng cách từ tâm đến mặt cắt là d: r = √(R² - d²)
- • Mặt cắt tiếp xúc: Điểm duy nhất (d = R)
- • Mặt cắt không cắt: Không có giao điểm (d > R)
4. HỆ THỨC LIÊN HỆ
📐 Tỉ lệ diện tích và thể tích:
S/V = (4πR²)/(⁴⁄₃πR³) = 3/R
S = 3V/R
📐 So sánh với hình trụ ngoại tiếp:
Hình trụ ngoại tiếp có R và h = 2R
V_cầu/V_trụ = 2/3
S_cầu/S_xq_trụ = 1
📐 Tỉ lệ khi thay đổi bán kính:
- • Nếu R tăng k lần, S tăng k² lần
- • Nếu R tăng k lần, V tăng k³ lần
- • Nếu d tăng k lần, S tăng k² lần
- • Nếu d tăng k lần, V tăng k³ lần
📌 Công thức tính bán kính từ các đại lượng khác:
- • Từ diện tích: R = √(S/4π)
- • Từ thể tích: R = ∛(3V/4π)
- • Từ đường kính: R = d/2
- • Từ chu vi đường tròn lớn: R = C/2π
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tính diện tích
Tính S mặt cầu khi biết R hoặc d.
Dạng 2: Tính thể tích
Tính V khối cầu khi biết R hoặc d.
Dạng 3: Tìm R hoặc d
Biết S hoặc V, tìm bán kính.
Dạng 4: Tỉ lệ
So sánh diện tích, thể tích hai hình cầu.
Dạng 5: Thiết diện
Tính bán kính thiết diện khi biết khoảng cách.
Dạng 6: Bài toán thực tế
Ứng dụng vào tính toán quả bóng, hành tinh.
6. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính diện tích mặt cầu
Cho hình cầu có R = 5cm. Tính diện tích mặt cầu.
Lời giải:
S = 4πR² = 4π × 25 = 100π cm²
≈ 314 cm² (với π ≈ 3.14)
Ví dụ 2: Tính thể tích khối cầu
Cho hình cầu có đường kính 12cm. Tính thể tích.
Lời giải:
R = d/2 = 6cm
V = ⁴⁄₃πR³ = ⁴⁄₃π × 216 = 288π cm³
≈ 904 cm³ (với π ≈ 3.14)
Ví dụ 3: Tìm bán kính
Cho hình cầu có S = 144π cm². Tính R.
Lời giải:
4πR² = 144π
R² = 36
R = 6cm
7. HƯỚNG DẪN BẤM MÁY TÍNH CASIO FX-580ES
Tính diện tích mặt cầu:
- Nhập 4 × SHIFT + π × Rx²
- Bấm =
Tính thể tích khối cầu:
- Nhập 4÷3 × SHIFT + π × Rx³
- Bấm =
Tính bán kính từ thể tích:
- Nhập SHIFT + √(3 × V÷4÷SHIFT + π)
- Bấm =
Lưu ý: Sử dụng phím π để có kết quả chính xác hơn